他们。浑邪王与休屠王感到恐惧，密谋投降汉朝，汉朝派骠骑将军前去迎接他们。浑邪王杀了休屠王，合并了他的军队，领着军队投降了汉朝。总共四万余人，号称十万。于是汉朝自从接受浑邪王投降之后，陇西、北地、河西遭受匈奴侵扰的事越来越少，就开始把关东的贫苦之民，迁移到从匈奴那里夺回的河套南岸和新秦中地区，充实这里的人口，并将北地以西的戍卒减少一半。第二年，匈奴向右北平和定襄各派数万骑兵入侵，杀死和抢夺千余人而去。
第二年春天，汉朝君臣谋划对付匈奴的事情，说：“翕侯赵信向单于献计，居住到大沙漠以北去，认为汉朝军队不能到达。”就用粟米喂马，开出十万骑兵，再加上自愿担负粮食马匹随军出征的总共有十四万人，粮食和辎重不在此数目之内，命令大将军卫青和骠骑将军霍去病平分军队，大将军率兵走出定襄，骠骑将军率兵走出代郡，都约定越过沙漠攻打匈奴。单于听到这一消息，把辎重送往远处，率精兵守侯在漠北。匈奴同大将军卫青的军队交战一天，正在日暮时分，刮起了大风，汉军从左右两翼急速围攻单于。单于自己料定打下去不能战胜汉军，于是他独自同数百名健壮的骑兵，冲破汉军的包围圈，向西北逃跑。汉军夜晚追赶，没有捉到他。但在行进中却杀死和活捉匈奴一万九千人，到达北边阗颜山赵信城就退回来了。
单于逃跑时，他的军队常常同汉军混战在一起，并设法追随单于。单于很长时间没有和他的大队人马相会了，他的右谷蠡王以为单于死了，就自立为单于。真单于又找到了他的大军，于是右谷蠡王就自动去掉他的单于王号，又当起右谷蠡王来。
汉朝骠骑将军霍去病走出代郡两千余里，同左贤王交战，汉军杀死和俘虏匈奴共七万多人，左贤王与其将军都逃跑了。骠骑将军便在狼居胥山祭天，在姑衍山祭地，举行封禅之礼，直到翰海才回师。
此后，匈奴向远处逃走，大沙漠以南没有匈奴的王庭。汉朝军队渡过黄河，从朔方向西直到令居，常常在那里修通沟渠，开垦田地，有官吏士卒五六万人，渐渐蚕食北方土地，地界接近匈奴旧地以北。
当初，汉朝的两位将军大规模地出兵围攻单于，杀死和俘虏八九万人，而汉朝士卒也死了好几万，汉朝的马匹死了十多万。匈奴虽然搞得疲惫而远去，但汉朝也因为马匹少，无法再去追击。匈奴采用赵信的计谋，向汉朝派遣使者，说好话请求和亲。汉朝天子把这问题交给臣下商议，有人说和亲，有人说趁机让匈奴臣服于汉。丞相长史任敞说：“匈奴刚刚遭受失败，处境困难，应当让他们做外臣，每年春秋两
